UTM, Folge 2: Versuch einer einfachen Umrechnung von Gauß-Krüger in UTM-Koordinaten.

Wenn man diese Überschrift ernst nehmen will, so scheint dieses Vorhaben im ersten Augenblick nicht sehr aussichtsreich zu sein, denn schließlich führt ja der schon in der Startseite zu dieser UTM-Folge angegebene Weg über einen Systemwechsel, was ich dort ja schon als eine "Verrenkung" bezeichnet habe.

Wenn ich mir allerdings in Erinnerung rufe, dass sowohl das Gauß-Krüger-System wie auch das UTM-System sich nach jeweils einer "Verebnung" offenbar auf je eine Ebene beziehen, keimt eine Hoffnung auf: Könnte man da nicht vielleicht hoffen, dass es über eine Affintransformation vielleicht doch möglich sein sollte das Ziel zu erreichen. Dabei schwirren mir Begriffe im Kopf herum, die mir in die Wunschrichtung zu deuten versprechen: "Konforme Abbildung". Das interpretiere ich jetzt mal kühn als "Winkeltreue Abbildung". Da fallen mir "ähnliche Dreiecke" ein. Ist es falsch, wenn ich hoffe, dass ein Dreieck von drei Punkten auf einer Gauß-Krüger-Ebene und das entsprechende Dreieck der gleichen Punkte in UTM-Koordinaten ähnliche Dreiecke sein müssten, dass also die Winkel gleich, die Seitenlängen aber um einen gemeinsamen Faktor skaliert sein sollten? Affintransformation also oder doch gar Ähnlichkeitstransformation?

Für jemand, der nicht über den erforderlichen Hintergrund verfügt, bleibt ja immerhin noch der mich wenigstens manchmal zum bescheideneren Ziel führende Weg über "experimentelle Mathematik". So will ich es denn versuchen!

Was ich brauche: Für drei Punkte in meiner Umgebung die Gauß-Krüger und die UTM-Koordinaten. Bei meinem zuständigen Landesvermessungsamt erfrage ich für drei Punkte des ETRF-89-Netzes die Koordinatenwerte. Ich erhalte die Gauß-Krüger-Werte, die Höhen als hNN noch als "Dreingabe" und die kartesischen Koordinaten im Bezugssystem ETRS-89. Aus den letztgenannten Werten kann ich leicht die UTM-Werte (und nebenbei noch die ellipsoidischen Höhen über dem WGS-84 = GRS-80-Ellipsoid berechnen). Die Entfernungen der drei Punkte von meinen Messorten betragen ungefähr 15 km, 21 km und 39 km.

GK	R	H	UTM Zone	E	N
P1	3420878.58	5391628.74	32	420834.763	5389911.508
P2	3409839.53	5343662.92	32	409800.160	5341964.727
P3	3428586.71	5373860.14	32	428539.716	5372149.911

Damit ich mich gegenüber meinem Landesvermessungsamt nicht falsch verhalte, habe ich die obigen Werte systematisch leicht verändert. Ich hoffe, dass ich mich so keines "Geheimnisverrats" schuldig mache. Die Daten sind aber nach dieser Änderung - das habe ich überprüft - für meinen Zweck immer noch ideal brauchbar!

Für die Affintransformation benötige ich 6 Parameter: a1, b1, c1 und a2, b2, c2.

Der dem Rechtswert entsprechende Wert für Easting(E) ergibt sich daraus gemäß der Formel:

Der dem Hochwert entsprechende Wert für Northing (N) resultiert entsprechend der Vorschrift:

Wenn man nun die Gleichungen für die drei ausgewählten Punkte ansetzt und damit nach den sechs Parametern sucht, ergeben sich für mein Messgebiet die folgenden Parameterwerte:

a1	0.9996040443
b1	-0.0000042266
c1	432.0731374642
a2	0.9995955898
b2	0.0000033629
c2	29001321.4895756

Wenn es sich um eine Ähnlichkeitstransformation handelte: Müssten dann nicht a1 und a2 gleich sein - und auch b1 = -b2 (also nur 4 verschiedene Transformationsparameter bei der Ähnlichkeitstransformation statt 6 bei der Affintransformation)? Wenn man in die Tabelle schaut, könnte man formulieren: Die obige Affintransformation ist aber einer Ähnlichkeitstransformation immerhin "ziemlich ähnlich"!

Die Abweichungen bei dieser rückwärtigen Transformation entsprechen den obigen: 2.2 cm, 2.4 cm und 3.2 cm.

- und ich glaube, dass ich Ihnen hier zeigen kann, dass der Weg tatsächlich weiter führt!