Man wird feststellen, dass dieser dritte Schritt das "Augenmaß" in der Regel überfordert. Deshalb ist durch ein rotes Kreuzchen der Ort für den Mittelpunkt des theoretisch optimalen Kreises, des "Schmiegekreises", als Hilfe in die Grafik eingeblendet.
Beim Spielen wird Ihnen sicher auffallen, dass die Zahlenwerte von yE' und yK' sich umso mehr angleichen, je besser die Richtungen der (nicht eingezeichneten) Tangenten von Ellipse und Kreis an der Stelle des schwarzen Kreuzchens übereinstimmen. Auch die Werte von yE'' und yK'' bewegen sich aufeinander zu, wenn der Radius des Kreises diesen so verändert, dass er sich im gemeinsamen Punkt immer besser an die Ellipse "anschmiegt". Wenn yE' und yK' übereinstimmen (notwendige Voraussetzung!), dann entscheiden die Zahlenwerte von yE'' und yK'' wie gut die Krümmung von Ellipse und Kreis im gemeinsamen Punkt übereinstimmen. Wenn yE'' und yK'' gleich geworden sind, sagt man, die Ellipse habe nun in diesem Punkt die gleiche Krümmung wie der Kreis. Man könnte zunächst geneigt sein yE'' (und yK'') auch als Maß dafür ansehen, wie schnell sich in dem betrachteten Punkt der Anstieg der Tangente ändert. Vielleicht fühlen Sie sich dabei ja auch an den Begriff der Beschleunigung aus der Physik erinnert! Es leuchtet somit ein, dass an stark gekrümmten Kurvenpunkten hohe Werte von yE'' zu erwarten sind, weil sich ja an solchen Stellen die Kurvenrichtung, und damit auch die Richtung der Tangente "schnell" ändert. Ist also der Wert der 2. Ableitung yK'' tatsächlich das Maß für die Krümmung? Es muss allerdings diese Frage vorsichtshalber besser noch offen gelassen werden. Wie sich nämlich noch zeigen wird, enthält der Term zur Bestimmung des Krümmungsmaßes zwar den Wert der zweiten Ableitung aber darüber hinaus eben auch noch den der ersten Ableitung. Immerhin aber gilt:
Als Maß für die Krümmung an dieser Stelle dient der Kehrwert (1 / R) des jetzt eingestellten Schmiegekreisradius (R).
R ist nunmehr der Radius des Schmiegekreises - und je kleiner er ist, umso stärker ist die Kurve an dieser Stelle gekrümmt.
Anregung: Sie können ja mal sehen, ob sich die Krümmung vielleicht linear oder gar proportional zum Wert von yE'' verändert. Dazu wären 5 - 10 Punkte auf dem Ellipsenbogen aufzusuchen und dort jeweils der optimale Schmiegungskreis über die beiden Schieberegler einzurichten. Dann notieren Sie den Kehrwert des jeweiligen R als Wert für die Krümmung an dieser Stelle. Dazu notieren Sie den zugehörigen Wert von yE'' und tragen die Punkte dann grafisch gegeneinander auf. Es wäre zu prüfen, ob die Punkte auf einer Geraden liegen (bzw. um eine solche Gerade herum eher zufällig streuen), das hieße es liegt eine lineare Beziehung zugrunde, ob diese Gerade womöglich durch den Ursprung verläuft, was Proportionalität signalisierte oder ob vielleicht systematische Abweichungen erkennbar werden, was eine Proportionalität und Linearität dann widerlegen würde.
Das Applet wurde erstellt am 22.02.2004
Letzte Aktualisierung : 22.02.2004