Wie gut liegen die Messpunkte auf einem Rotationsparaboloid? - Teil 2

Wie man hier nachlesen kann, lautet die Gleichung zur Berechnung der Höhen der Punkte einer Paraboloidfläche in "Normallage", also Scheitelpunkt im Zentrum und Öffnung des Rotationsparaboloids nach oben:

Wenn man sich vergegenwärtigt, dass der Klammerausdruck die Bedeutung des Abstandsquadrates des Punktes (x,y) von der Z-Achse besitzt (Satz des Pythagoras), dann wird klar, dass die z-Werte (also die Höhen über der Horizontalebene) eines jeden x,y-Wertepaares unabhängig von der Richtung nur zu diesem Quadratwert proportional sind, also proportional zum quadrierten "Radius". Man erkennt die Rotationsfläche, die bei der Rotation der Parabel

um die Z-Achse entsteht, denn alle Punkte mit gleichem Radialabstand zur Z-Achse haben die gleiche Höhe.

Deswegen berechne ich nun für alle gemessenen und in den bisherigen Schritten transformierten Punkte aus den jeweiligen x- und y-Werten den zugehörigen Abstand [ r = Wurzel aus (x · x + y · y) ] und trage dann ihre z-Werte gegen diese r-Werte auf. Dabei entstehen für die beiden Punktwolken die folgenden Abbildungen:

Jetzt kann ich für beide Bilder nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate je eine Näherungsfunktion berechnen und erhalte:

Die Werte vom 20.08.2005 und die passende Parabel
Die Parameter und die Näherungsparabel:

Die Werte vom 29.08.2005 und die passende Parabel
Die Parameter und die Näherungsparabel:

Ehe ich es vergesse: Die Werte Li1 = 0.03255 und Lj = 0.03262 (gemittelt nach Gewichtung über die unterschiedlichen Punktzahlen) ergeben also den gesuchten Parameter b für mein Näherungsparaboloid: b = 0.03256.

Wenn ich also beide Punktwolken noch in Normallage verschieben will, muss ich zu den z-Werten der Punkte vom 20.8. noch jeweils 1.79528 addieren und zu den z-Werten vom 29.8. jeweils 2.71503. Danach liegen beide Paraboloide mit ihren Scheitelpunkten an der Stelle x=0, y=0, z=0.

Um nun beide Punktwolken wirklich "zur Deckung" zu bringen wäre noch eine Drehung der einen Punkteschar um die Z-Achse durchzuführen, damit beide Wolken die gleiche Orientierung haben. Auf diesen Schritt kann ich aber verzichten, wenn ich davon ausgehe, dass die Antennenoberfläche zur Z-Achse "gut" rotationssymmetrisch ist, was die Anschauung ja auch bestätigt.

Diese Seite wurde erstellt am 5.09.2005

Letzte Ergänzung am 5.09.2005