Vektorspielereien mit Punkten aus der Punktwolke von der Burgruine Hohengeroldseck

Angewandte Vektorrechnung mit Punkten aus der Punktwolke der Hohengeroldseck.

Diese Seite handelt von meinen Versuchen zur Nutzung der gemessenen Fülle von Oberflächenpunkten der Hohengeroldseck für die Berechnung von Winkeln und Wandstärken. Dieses Mal soll das aber ohne die Hilfe eines CAD-Programmes probiert werden.

In den folgenden Versuchen wird das JavaView-Applet zur Bestimmung geeigneter Punkte verwendet. Zunächst habe ich 19 Punkte auf der Außenfläche der nordwestlichen Palaswand nacheinander ausgesucht und markiert. Dabei wurde die Punktwolke immer wieder mit der Maus bewegt, wobei sich ja mit etwas Übung erkennen lässt, welche Punkte wirklich auf der gewählten Fläche liegen und welche nicht geeignet sind, weil sie offenbar doch nicht auf der Zielfläche liegen. Manchmal musste auch bei einem schon markierten Punkt die Markierung wieder entfernt werden, weil sich beim Drehen der Figur herausstellte, dass der betreffende Punkt bei näherem Hinsehen doch nicht zur Fläche gehörte.

Wenn schließlich genug Punkte markiert sind (mindestens 4, besser deutlich mehr) schaltet man mit der Tastenkombination "Shift" "h" die Option zur Anzeige der Punktkoordinaten ein und fährt mit der Maus nacheinander die markierten Punkte an und notiert sich deren dann aufgezeigte Koordinaten. Ich habe dabei jeweils auf die erste Ziffer verzichtet, weil diese bei allen Punkten einer Fläche gleich war. Damit habe ich also - wie ich denke, ohne Beeinträchtigung beim Ergebnis - den Koordinatenursprung um 400 m nach rechts, 400 m nordwärts und 500 m nach oben verschoben, also um etwa 755 m näher an die Burg heran verlegt. Ein Punkt mit den Koordinaten (79.716, 55.356, 36.963) ist nun also nur noch 103.852 m vom neuen Koordinatenursprung entfernt. Dieser Punkt liegt übrigens auf besagter NW-Palaswand und hat die Punktnummer 1017.

Nummer	X	Y	Z
1017	79.716	55.356	36.963
990	80.955	56.658	37.306
993	82.952	58.648	37.044
994	84.112	59.866	37.930
882	77.564	53.322	37.777
1020	79.042	54.713	38.948
1035	76.483	52.093	41.295
1036	77.645	53.351	42.176
949	84.077	59.897	42.438
887	82.001	57.855	43.528
1040	79.704	55.526	43.972
944	83.692	59.539	44.607
935	84.563	60.437	45.666
941	81.747	57.648	45.875
1057	77.880	53.711	47.568
1043	80.814	56.802	48.503
931	85.100	61.009	48.787
896	77.285	53.122	50.472
1045	82.199	58.235	51.962

Wie ich auf dieser Seite genauer beschrieben habe, lässt sich aus diesen Punktkoordinaten eine Ebene berechnen, die man Regressionsebene nennt. Es ist diejenige Ebene, von der die Summe aller 19 quadrierten Abstandswerte minimal ist, eine Ebene also, die sich optimal der Punktephalanx angleicht. Diese Ebene kann man elegant durch einen Vektor der Länge 1 darstellen. Dieser Vektor zeigt vom Koordinatenursprung senkrecht auf die Fläche und man nennt ihn den Normaleneinheitsvektor. Er charakterisiert die Fläche, steht senkrecht auf ihr und sieht so aus:

Der Rechengang zur Ermittlung des Richtungswinkels dieses Einheitsvektors ist hier dargestellt und ergibt, dass diese Flächennormale einen Azimut von 313.8° hat, also etwa in Südost-, bzw. Nordwestrichtung (= 315°) weist. Steht man also mit dem Rücken zu dieser Wand, dann schaut man ungefähr in nordwestlicher Richtung. Die Fläche der Palaswand selbst verläuft demnach - senkrecht dazu - vom Treppenturm aus gesehen in die Richtung:

Ergänzend sei mitgeteilt, dass mein CAD-Programm für diesen Winkel (nach Addition der Meridiankonvergenz) 43.7° ermittelt hat.

Die "Nordost"-Palaswand ist im Gegensatz zur bisher besprochenen Wand in folgender Weise zweigeteilt: Die Außenwand ist oben (im Bereich des 2. und 3. Obergeschosses) etwas "nach innen" versetzt. Die untere Außenwand ist (sorgfältig durchgeführten Messungen zufolge) etwa 16 cm gegenüber der oberen Wand nach außen vorspringend.

Punkte, die zum unteren Teil gehören, haben Höhen, die alle unterhalb von 41 m liegen, die Wandpunkte des oberen Bereiches haben durchweg Höhen über 41 m. Für beide Wandteile habe ich jeweils 10 Punkte ausgewählt und dann den jeweiligen Einheitsvektor der Flächennormalen berechnet. Hier folgt das Protokoll der Berechnung des Winkels, den die beiden Flächennormalen einschließen. Damit beträgt also auch der Winkel, den die Nordwest- und die Nordostwand des Palasgebäudes einschließen.

Der Vergleich mit der Skizze aus dem CAD-Programm und dem Punktwolkengrundriss zeigt allerdings einen etwas ernüchternden Widerspruch auf: Dort kann man nämlich für den gleichen Winkel 71.2° finden! Damit wird deutlich, dass die Angabe von Ziffern hinter dem Komma des Winkelwertes eher als Scheingenauigkeit gelten muss! Man sollte daher die ermittelten Winkelwerte auf ganze Winkelgrade runden.

Für den Winkel zwischen den oberen Teilen der Außenwände Nordost und Südost ergibt sich aus der CAD-Skizze der Wert 121.1°. Über die entsprechenden Flächennormalen fand ich dagegen 121.8°.

Der Winkel zwischen den Südost- und Südwestaußenwänden beträgt laut CAD-Skizze 91.0°, aus den Flächennormalen resultiert für den gleichen Winkel ein Wert von 90.2°.

Zwischen der Südwest- und der Nordwestwand zeigt die CAD-Skizze einen Winkel von 76.7° und die Normalenvektoren ergeben 78.3°.

CAD-Skizze	Flächennormalen
360.0°	360.3°

Der Einheitsvektor der Flächennormale kann auch dazu dienen Wandstärken zu bestimmen, nämlich als Abstände von Punkten auf der Innenwand von der Regressionsebene der entsprechenden Außenwand. Für die Südwestmauer des Palas habe ich die Rechnung hier aufgeschrieben. Das Ergebnis: 1,69 m. In diesem Fall liefert das CAD-Programm für die Stärke dieser Wand 1,70 m.

Eine eher leichte Übung ist dagegen die Ermittlung von Punktabständen aus dem Punktwolken-Applet. Dazu notiert man sich für beide Punkte jeweils die drei Koordinatenwerte und rechnet daraus entweder den Horizontalabstand aus den beiden X- und Y-Werten aus oder die Schrägdistanz (über den "räumlichen Pythagorassatz") unter Mitverwendung der Z-Koordinaten.

Beispiel: Die beiden Punkte P1 = (74.92 m, 46.46 m, 48.33 m) und P2 = (76.72, 55.36, 36.96 ) haben einen Horizontalabstand von