Gefilmter Freier Fall (5)

Fallversuche mit einem kleinen Spielzeugball (Teil 5)

Ein Weg zur optimal sich anschmiegenden Kurve.

Am Beispiel des fallenden Spielzeugballs lässt sich ganz gut ein allgemeiner Weg zur Suche der Kurve aufzeigen, die sich der Schar der Messpunkte optimal anschmiegt, oder anders gesagt, der Funktion, die mit minimaler Summe der Abweichungsquadrate zu den gemessenen Wertepaaren passt.

Hier zunächst wieder die Daten, wobei jetzt die beiden Abschnitte - Fallen und Aufsteigen - als getrennte Messreihen behandelt werden. Außerdem wird nun der Tatsache Rechnung getragen, dass die Höhenwerte höchstens mit einer Genauigkeit von ± 0.5 cm erfasst werden konnten.

Fallender Ball		Aufsteigender Ball nach dem Aufprall am Boden
Zeiten (in Sekunden)	Höhe (in Metern)	Zeiten (in Sekunden)	Höhe (in Metern)
0	1.59	0	0.19
0.04	1.55	0.04	0.35
0.08	1.49	0.08	0.50
0.12	1.42	0.12	0.64
0.16	1.32	0.16	0.77
0.20	1.21	0.20	0.88
0.24	1.09	0.24	0.97
0.28	0.95	0.28	1.05
0.32	0.80	0.32	1.10
0.36	0.63	0.36	1.15
0.40	0.45	0.40	1.18
0.44	0.25	0.44	1.19

Zunächst wird nach folgendem Rezept eine Matrix konstruiert: Spaltenzahl: 3, Zeilenzahl = Anzahl der Messwertpaare, hier also 12.

Die erste Spalte wird mit Einsen gefüllt. In die zweite Spalte werden die Zeiten geschrieben. In der dritten Spalte werden die Quadrate der Zeiten notiert. Die beiden Matrizen für die zwei Vorgänge lauten also :

Beide Matrizen sind in diesem Fall also gleichlautend, weil die Messzeitpunkte für beide Messreihen gleich gewählt wurden.

Dann wird die "Transponierte Matrix" gebildet, in der Zeilen und Spalten der ursprünglichen Matrix vertauscht sind:

Nun wird das Produkt gebildet :

Diese Produktmatrix wird nun invertiert :

Jetzt wird eine andere Produktmatrix gebildet, wieder aus der transponierten Matrix und jetzt dem Vektor der Höhenwerte. Hier also die beiden Vektoren der Höhenwerte für die beiden Teilvorgänge (Fallen und Aufsteigen):

und jetzt die beiden Produkte :

Im letzten Schritt wird nun für jeden der beiden Vorgänge je ein Ergebnisvektor gebildet nach dem folgenden Muster :

Aus den beiden Vektoren können jetzt für beide Weg-Zeit-Gesetze die drei Parameter A,B und C entnommen werden.

H (t) = A + B · t + C · t · t

Damit lauten die beiden Funktionen für den zeitlichen Ablauf der Höhenwerte :

Für den Abstieg : H_abwärts(t) = 1.595 m - 0.947 m/s · t - 4.800 m / (s·s) · t · t

Für den Aufstieg : H_aufwärts(t) = 0.183 m + 4.445 m/s · t - 4.887 m / (s·s) · t · t

Ein paar Bemerkungen zu den Parameterwerten selbst. Zunächst die beiden C-Parameter, die ja die halbe Erdbeschleunigung darstellen sollen. Es ist sicher nicht falsch, wenn man davon ausgeht, dass diese beiden Werte eigentlich gleich sein sollten für Auf- und Abstieg. Es wird auch klar, dass angesichts des nicht unbeträchtlichen Unterschiedes beider gefundener Werte die drei Nachkommastellen eine Scheingenauigkeit bedeuten. Wenn man sich nicht unglaubwürdig machen will, ist also dringend anzuraten, für C den Mittelwert aus beiden Zahlen zu bilden und allerhöchstens zwei Nachkommastellen - ehrlicher eigentlich nur eine - hinzuschreiben, also zunächst 4.84. Die Erdbeschleunigung betrüge also g = 2 · 4.84 m / (s·s) = 9.7 m / (s·s), was immerhin 1 % vom Sollwert abweicht.

Die beiden A-Parameter stellen die jeweiligen Anfangshöhen zu den Zeitpunkten t = 0 Sekunden dar. 1.595 ist also praktisch die wirkliche Abwurfhöhe - wenn da nicht die Anfangsgeschwindigkeit v01 = -0.947 m/s wäre, die ja zeigt, dass das Fallen schon kurz vorher begonnen haben muss. Der Höhe beim Wiederaufsteigen zum neuen Zeitpunkt t02 = 0 Sekunden betrug, laut Weg-Zeitgesetz für das Aufsteigen, 0.183 m. Die Anfangsgeschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt lag bei + 4.445 m/s, hatte also die entgegengesetzte Richtung wie die Startgeschwindigkeit beim Fallen und war im Betrag viel größer. Dies ist nicht verwunderlich, denn durch den elastischen Aufprall am Boden ist nur wenig von der großen Auftreffgeschwindigkeit verloren gegangen. Daher ist also die Aufstiegsgeschwindigkeit zu Beginn nicht klein, sondern fast so groß wie die Geschwindigkeit beim Aufschlag am Boden war.

Zur Kontrolle können jetzt für beide Vorgänge die Höhen zu den im Film aufgenommenen Zeitpunkten berechnet und die Rest-Abweichungen (Residuen) zu den gemessenen Höhen bestimmt werden.

Wie man sieht, passen die beiden Weg-Zeit-Kurven recht gut zu den Messpunkten, sowohl für den Vorgang des Fallens wie auch für den Vorgang des Aufsteigens.

Die auf diesem Weg berechneten Parameter führen zu Näherungskurven, die eine minimale Summe der Quadrate der (senkrechten) Abweichungen zu den Messpunkten aufweisen, sich in diesem Sinn also insgesamt an die Punkte optimal anschmiegen.

Diese Seite wurde erstellt am : 24.02.2003

Letzte Aktualisierung : 26.02.2003