Fallversuche mit einem kleinen Spielzeugball (Teil 3)
Versuch einer Auswertung
Hier folgt nochmal das Höhe-Zeit-Diagramm für den Fall und den Wiederaufstieg des Balles nach dem Aufprall:
Es erscheint nahe liegend, dass man bei der Auswertung die beiden Abschnitte - Fallen und Rückprall - getrennt auswertet.
Wenn man nun aber überlegt, wo wohl der Abstieg endet und wo der Wiederaufstieg beginnt, kann man bei Betrachten des Schaubildes schon in Zweifel geraten: Gehört nun der Wert bei ca. 0.48 Sekunden noch zum Fallen oder ist er schon die erste Marke des begonnenen Wiederaufstiegs ?
Angesichts dieser Skrupel habe ich mich entschieden, den Wert fürsorglich nicht in die Auswertung einzubeziehen. Vielleicht kann die Frage ja am Ende durch Extrapolieren entschieden werden.
Als nächstes könnte man nach auffallenden "Ausreißern" suchen. Man würde sie ggf. ausschließen um nicht mit solchen Werten die "Gesamtgüte" der Auswertung zu belasten. Es fallen mir allerdings beim Betrachten des obigen Bildes solche Werte nicht auf, weder im ersten noch im zweiten Teil des Gesamtverlaufes.
Aus der Schulphysik erinnert man sich, dass der erste Teil des Vorganges als Freier Fall bezeichnet wird und dass es sich dabei um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt (wenn man von der Luftreibung bei diesen geringen Geschwindigkeiten absehen kann). Physikalisch ist dieser Fall dadurch gekennzeichnet, dass die Beschleunigung in Bewegungsrichtung erfolgt, weswegen sich ja dann auch die Fallgeschwindigkeit steigert.
Der zweite Teil des Vorganges wird in der Schulphysik gern unter dem Stichwort "Senkrechter Wurf nach oben" geführt. Hier sind nun die Bewegungsrichtung (aufwärts) und die Beschleunigung (Erdbeschleunigung, also abwärts) entgegengesetzt gerichtet. Das führt zu einem Abbremsen, also einer Verringerung der Aufstiegsgeschwindigkeit .
Wenn wir jetzt versuchen, dem Vorgang eine rechnerische Einkleidung zu verpassen, dann können wir uns ebenfalls an die Schulphysik erinnern. Dort hat man gelernt, dass sich eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit dem folgenden Formelausdruck (Weg-Zeit-Gesetz) beschreiben lässt:
s(t) = s0 + v0 · t + a/2 · t · t
dabei bedeuten :
Das zum Zeitpunkt t = 0 Sekunden schon zurückgelegte Wegstück : s0
Die zum gleichen Zeitpunkt (t = 0 s) herrschende Anfangsgeschwindigkeit : v0
Die konstante Beschleunigung : a
Wir sollten also annehmen, dass sich unsere Höhenwerte in ihrer Zeitabhängigkeit allgemein so darstellen lassen sollten:
h(t) = A + B · t + C · t · t,
wenn es sich tatsächlich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelte !
Das hieße also, die Höhe nach z.B. 5 Sekunden wäre dann : h(5s) = A + B · 5s + C · 5s · 5s.
Jetzt müsste man nur noch die drei Größen A, B und C kennen !
Zur Ermittlung der drei noch unbekannten Werte (A,B und C) brauchen wir nun auch drei unabhängige Ergebnisse aus unserem Fallversuch, also drei Wertepaare (Höhe, Zeit).
So können wir beispielsweise die Höhen zu den Zeitpunkten: t3 = 0.12s, t7 = 0.28s und t11 = 0.44s, also s(t3) = 1.416 m, s(t7) = 0.955 m und s(t11) = 0.245 m wählen und daraus die folgenden drei Gleichungen formulieren :
(1) 1.416 m = A + B · 0.12 s + C · 0.12 s · 0.12 s
(2) 0.955 m = A + B · 0.28 s + C · 0.28 s · 0.28 s
(3) 0.245 m = A + B · 0.44 s + C · 0.44 s · 0.44 s
Eine kurze Überlegung ergibt, mit welchen Einheiten für die drei Größen zu rechnen ist: Jeder der Summanden auf der rechten Seite der Gleichungen muss die Einheit Meter haben, also muss A selbst auch die Einheit Meter haben, B ist in Meter/Sekunde und C in Meter/(Sekunde · Sekunde) zu bemessen. Damit können dann aber auch in allen drei Gleichungen die Einheiten "herausdividiert" werden und man spart sich so das "Mitschleppen" der Einheiten beim Umformen.
Wenn man die erste Gleichung dann nach C auflöst resultiert : C = 98.333 - 69.444 · A - 8.333 · B
Setzt man dieses C in die zweite Gleichung ein und löst nach B auf resultiert : B = 18.093 - 11.906 · A
mit diesem Ausdruck für B, eingesetzt in den oben gefundenen Ausdruck für C resultiert jetzt für C :
C = 98.333 - 69.444 · A - 8.333·(18.093 - 11.906 ·A)
C = -52.436 + 29.769 · A
Mit diesen Werten von B und C, eingesetzt in die dritte Gleichung, resultiert für A = 1.598. Damit ergeben sich dann auch: B = - 0.938 und C = - 4.859.
Die beim Rechnen weggelassenen Einheiten sollten jetzt wieder mitbenutzt werden, also A = 1.598 m (interpretierbar als Anfangshöhe zum frei gewählten Zeitpunkt t = 0 Sekunden). Jetzt der zweite gefundene Wert: B = - 0.938 m/s, der als Anfangsgeschwindigkeit interpretiert werden kann. Diese Geschwindigkeit ist deswegen von 0 verschieden, weil der freie Fall nicht zum Zeitpunkt t = 0s sondern schon eine kurze Zeitspanne zuvor gestartet worden war, das heißt der Ball war zum Zeitpunkt t=0 s nicht mehr in Ruhe. Das negative Vorzeichen gewährleistet, dass mit fortschreitender Zeit die Höhenwerte nicht größer werden sondern abnehmen. Der dritte Parameter muss dann heißen : C = - 4.859 m/(s·s). Er ist als die halbe Beschleunigung zu interpretieren, denn in unserer Schulformel (Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung, siehe oben) wird der Wert a/2 ja gerade von unserem Wert C repräsentiert. Dass das Vorzeichen mit dem der Geschwindigkeit übereinstimmt, führt zu einer mit der Zeit wachsenden Geschwindigkeit, wie wir sie ja beim freien Fall immer beobachten.
Wenn wir jetzt den Betrag von C mit 2 multiplizieren, dann erhalten wir einen Wert für a von: a = 9.72 m / (s·s) - und das wäre ja ungefähr die so genannte Erdbeschleunigung, die von der Anziehungskraft der Erde auf die (träge) Masse des Balles bewirkt wird.
Der Tabellenwert wird für unsere Breiten mit g = 9.81 m / (s·s) angegeben.
Ein vielleicht wesentlicher Vorzug des kleinen Filmexperimentes ist aber, dass ja nicht nur drei Wertepaare ermittelt wurden, sondern - schon im ersten Teil, nämlich der abwärts gerichteten Fallbewegung - insgesamt 12 Messwertpaare (Höhe, Zeit) gewonnen wurden. Man könnte also bis zu 220 verschiedene Wertepaartripel zur Berechnung je eines neuen A,B,C-Ergebnisses nutzen.
Immerhin habe ich noch drei weitere Wertepaartripel genutzt und damit folgende Ergebnisse erhalten :
Werte 2, 8 ,12: A = 1.592 m, B = -0.899 m/s, C = - 4.878 m / (s·s) => a = 9.76 m / (s·s)
Werte 4, 6, 10: A = 1.603 m, B = -1.014 m/s, C = - 4.669 m / (s·s) => a = 9.34 m / (s·s)
Werte 2, 5, 9 : A = 1.594 m, B = -0.915 m/s, C = - 4.900 m / (s·s) => a = 9.80 m / (s·s)
Die Standardabweichung dieser 4 Beschleunigungswerte beträgt sa = 0.18 m / (s·s), was einen rasch wieder von zu hohen Erwartungen heilen kann. Bescheidener geworden ließe sich bestenfalls als Ergebnis vertreten : a = (9.7 ± 0.2) m / (s·s), was ja immerhin noch den Sollwert in der genannten Bandbreite mit umfasst.
Weitere Fragen tun sich in diesem Zusammenhang auf, denn die 4 verschiedenen Ergebnisse aus den beliebig herausgegriffenen Messwertetripeln stellen immerhin widersprüchliche Resultate dar und es kann einen ja schon interessieren, ob sie sich vielleicht unterschiedlich "gut" mit dem jeweiligen Rest der Messwerte "vertragen". Dazu bestimme ich in der nächsten Folge die Differenzen (Residuen) zwischen den gemessenen und den mit Hilfe der gefundenen Parameter A,B und C berechneten Höhen.
Diese Seite wurde erstellt am : 23.02.2003
Letzte Aktualisierung : 26.02.2003