Anregungen zum Spielen mit dem Dreiecke-Applet.

Zur Bedeutung der Maßangaben sei kurz erläutert :

Die Koordinatenangaben hinter den Punkten nennen zunächst den x- und danach den y-Wert des jeweiligen Punktes. Die Bezeichnungen  "s12, s23 und s31 stehen für die Seiten von Punkt 1 nach Punkt 2, von Punkt 2 nach Punkt 3 und von Punkt 3 nach Punkt 1 und der danach aufgeführte Zahlenwert gibt die jeweilige Länge (in der Einheit Pixel) an . Die den Punkten  P1, P2 und P3 gegenüberliegenden Winkel heißen Alpha, Beta und Gamma und die dahinter stehenden Winkelwerte sind in ° angegeben.

Versuchen Sie durch Experimentieren herauszufinden (bzw. sich wieder in Erinnerung zu rufen, was Sie über Dreiecke schon mal wussten), welche Grundtatsachen in Dreiecken - und seien sie noch so verschieden - immer gelten. Sie können ja die Dreiecke jeweils leicht zeichnen und danach auch verändern, indem Sie an einer oder mehreren Ecken mit der Maus "ziehen" oder "schieben". Legen Sie sich einen Taschenrechner bereit. Die Seitenlängen und die Winkel der von Ihnen gezeichneten Dreiecke werden Ihnen ja unter Ihren Zeichnungen jeweils angezeigt und sie werden bei jeder Veränderung laufend aktualisiert. Vielleicht versuchen Sie Fragen wie die nachfolgenden zu bestätigen oder zu widerlegen.

• Die Summe der drei Winkel beträgt immer ...(verschiedene Dreiecke zeichnen und nachschauen)
• Die Summe der Längen zweier Seiten ist immer größer als die Länge der dritten Seite ..(nachprüfen an verschiedenen frei gezeichneten Dreiecken)
• Die Summe der drei Seitenlängen beträgt immer .. ? ?
• Gleich langen Seiten liegen immer gleich große Winkel gegenüber (prüfen Sie, indem Sie Dreiecke mit zwei oder drei gleich langen Seiten zeichnen - gleichschenklige bzw. gleichseitige Dreiecke)
• Der größten Seite liegt immer der größte ( oder kleinste ? ) Winkel gegenüber,
• Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber,
• Einer doppelt so langen Seite liegt ein doppelt so großer Winkel gegenüber ..?

Versuchen Sie die relative Größe von Winkeln zu schätzen (also: welcher der beiden kleineren Winkel ist der größte). Gelingt Ihnen dies auch deutlich weniger gut als das entsprechende Schätzen von Seitenlängen ?

Wenn sich zwei Seitenlängen doch nicht so zueinander verhalten wie die Größen der gegenüberliegenden Winkel, dann versuchen Sie doch einmal, ob statt der Winkel, deren Sinuswerte (vom Taschenrechner abfragen) sich entsprechend verhalten - wenigstens behauptet dies der sog. Sinussatz !

Gilt dies auch, wenn man statt der Sinuswerte die Kosinuswerte nimmt (es gibt ja schließlich auch einen "Kosinussatz") ?

Versuchen Sie rechtwinklige Dreiecke (ohne die Hilfe der Gitterlinien) zu zeichnen. Gelingt Ihnen das auch nicht so befriedigend wie mir. Rechte Winkel zu erzeugen ist also doch nicht so einfach !

Versuchen Sie den Satz des Pythagoras an beliebigen rechtwinkligen Dreiecken zu überprüfen (Die Summe der Quadrate der Längen der beiden kurzen Seiten - Katheten - ist gleich dem Quadrat der Seitenlänge der größten Seite  - sie heißt im rechtwinkligen Dreieck Hypotenuse).

Im rechtwinkligen Dreieck (ein Dreieck mit genau einem rechten Winkel) beträgt die Summe der beiden kleinen Winkel immer ...

Betrachten Sie einen der kleinen Winkel im rechtwinkligen Dreieck. Die Kathete, die vom rechten Winkel zu ihm hinführt heißt Ankathete. Die andere kurze Seite, die diesem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete. Die längste Seite heißt Hypotenuse.

Wohlgemerkt, Sie können sich dabei den einen oder den anderen der beiden kleinen Winkel frei aussuchen - trotzdem aber gilt - und seien die rechtwinkligen Dreiecke noch so zufällig gezeichnet :

Die Länge der Ankathete dividiert (geteilt) durch die Länge der Hypotenuse ergibt den Kosinus des betrachteten Winkels (prüfen Sie mit dem Taschenrechner, geben Sie die Größe des ausgewählten Winkels in Grad ein und betätigen Sie die Taste mit der Aufschrift "cos" und vergleichen Sie mit dem Wert, den Sie erhalten wenn Sie die beiden Seitenlängen in der genannten Weise durcheinander teilen),

Die Länge der Gegenkathete dividiert durch die Länge der Hypotenuse ergibt den Sinus des betrachteten Winkels (siehe Taschenrechner, "sin"-Taste),

Die Länge der Gegenkathete dividiert durch die Länge der Ankathete ergibt den Tangens des betrachteten Winkels (Taschenrechner, "tan"-Taste).

Diese drei Werte - also die drei Seitenlängenverhältnisse - sind, wenn der Winkel gleich bleibt, immer konstant, auch wenn man den Eckpunkt am rechten Winkel weiter wegzieht (Natürlich muss man dann durch Ziehen am dritten Eckpunkt wieder dafür sorgen, dass der rechte Winkel wieder hergestellt wird). Es werden dabei dann zwar die Seitenlängen verändert, es bleiben aber die Verhältnisse der Längen gleich. 

Zwei Dreiecke, bei denen sich alle drei Winkel gleichen heißen, wenn sie auch gleich lange Seiten haben "kongruent" ,d.h. "deckungsgleich", wenn aber bei gleichen Winkeln die Seitenlängen der beiden Dreiecke verschieden sind, nennt man sie "ähnliche" Dreiecke.

Aus einigen der oben eingeführten Eigenschaften können Rechenvorschriften abgeleitet werden, die es gestatten, aus gegebenen Werten eines Dreiecks unbekannte Größen des gleichen Dreiecks zu berechnen, z. B. :

a) Im rechtwinkligen Dreieck gilt :

    Bei gegebenen Kathetenlängen hat die Hypotenuse die folgende Länge :

     Hyp.Läng = Quadratwurzel aus (Quadrat der Ankathetenlänge + Quadrat der Gegenkathetenlänge)

     entsprechend gilt für eine Kathete bei gegebener Länge von Hypotenuse und anderer Kathete :

     Kath.Läng. = Quadratwurzel aus (Quadrat der Hypotenusenlänge - Quadrat der and. Kathetenlänge)

        Prüfen Sie das an einem gezeichneten rechtwinkligen Dreieck nach (Satz des Pythagoras).

   Bei gegebenem Winkel und einer Seitenlänge :

    Die Länge der Ankathete ist gleich der Hypotenusenlänge mal dem Kosinus des zugehörigen Winkels.

    Die Länge der Gegenkathete ist gleich der Hypotenusenlänge mal dem Sinus des zugehörigen Winkels.

    Die Länge der Gegenkathete ist gleich der Länge der Ankathete mal dem Tangens des Winkels

   Prüfen Sie dies an Ihrem gezeichneten rechtwinkligen Dreieck.

   Bei beliebigen Dreiecken gilt :

Die Längen zweier Seiten verhalten sich zueinander wie die Sinuswerte der jeweils gegenüberliegenden Winkel (dies ist der Sinussatz).

Wenn ich also zwei Winkel (Alpha und Beta) und eine der beiden gegenüberliegenden Seitenlängen (z.B. Seite b, gegenüber dem Winkel Beta) kenne, dann ergibt sich die Länge der dem anderen Winkel gegenüberliegenden Seite a aus :

     a = b · sin (Alpha) / sin(Beta)

Wie man also sieht, spielen die "Winkelfunktionen" auch bei nicht rechtwinkligen Dreiecken eine Rolle. Diese Werte (Sinus, Kosinus oder Tangens) sind allgemeine Funktionen von Winkeln, auch wenn diese Winkel nicht in rechtwinkligen Dreiecken liegen.

Prüfen Sie an einem beliebigen Dreieck nach.

Vielleicht drucken Sie auch einfach diese Experimentiervorschläge aus, wenn Sie dies alles im "Experiment" ,mit dem folgenden Applet nachprüfen wollen.

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Die letzte Berichtigung erfolgte am 08.01.2002