Prinzipien von Astronavigation, Teil 4

Die Fortsetzungen (Teil 10 - Teil 13) befassen sich mit dem Prinzip der "Astronavigation", also der Standortbestimmung aus Messungen am Sternhimmel. Mit Freude kann ich ein entsprechendes Applet anbieten, mit dem das Vorgehen dabei als Simulation nachgespielt werden kann

Das Ergebnis aus der letzten Folge war noch etwas unbefriedigend, insbesondere, wenn man bedenkt, dass doch statt gemessener Höhen die theoretischen Höhenwerte, ermittelt mit meinem Planetariumsprogramm, vorgegeben worden waren. Dies ließ mich doch nicht ganz kalt, denn mit theoretischen Werten müssten doch auch die Sollkoordinaten herauskommen. Sicher, es wurde ja ein Schnittpunkt zweier Geraden berechnet statt des Schnittpunktes zweier Kreise. Ließ sich da vielleicht noch etwas nachbessern ?

Zunächst überlegte ich mir, wie sich wohl die "Güte" der geschätzten Position - also die vorgegebene Startbreite und Länge - auf das Ergebnis auswirken würde. Ich probierte es einfach aus und es ergab sich erwartungsgemäß eine sehr deutliche Verbesserung wenn mit besseren Anfangswerten begonnen wurde. Dies wies dann fast zwangsläufig den Weg zu folgender Strategie: Es werden die jeweiligen Lösungen einfach als Startwerte für die nächste Näherung verwendet, d.h. es müssten doch wohl bei derartigem Vorgehen bei jeder Wiederholung immer bessere Werte ergeben.

Ich machte zunächst mit dem Ergebnis aus der letzten Folge die Probe aufs Exempel. Die Breite und Länge wurden jetzt als Startwerte eingegeben, also B0=48,681° und L0=7,939°, und damit ein zweiter Durchgang gerechnet. Jetzt ergaben sich die neuen Koordinaten: B1=48,679° und L1=7,942°. Wenn ich nun diese Werte wieder als Startwerte einsetzte, ergaben sich beim erneuten Rechnen jetzt aber die gleichen Koordinaten, d.h. die Endwerte waren schon nach dem 2. Durchgang erreicht, sie waren "stabil". Jetzt interessierte mich natürlich die Frage, welchen Abstand der Ort mit diesen neuen Koordinaten vom Soll-Ort hatte: Es waren statt ursprünglich 886 m jetzt nur noch 621 m. Also tatsächlich eine Verbesserung !

Jetzt war nur noch die Frage, warum die Konvergenz nicht noch besser war. Dabei vermutete ich, dass es durch ungenaue Rektaszension und Deklinationswerte und insbesondere nicht ganz exakte Höhenwerte zu diesem nicht weiter verbesserungsfähigen Endergebnis kam. So setzte ich also bei neuen Versuchen die bestmöglichen Werte ein und kam tatsächlich auch zu deutlich besseren Resultaten.

Es interessierte mich insbesondere, ob - und wenn ja, wie schnell - dieses Verfahren zu stabilen Endwerten konvergiert, wenn man mit weitaus schlechteren Schätzwerten für die Breite und Länge starten würde.
Hier habe ich das Ergebnis eines Testlaufes notiert (es ist klar, dass ich jetzt um die Programmierung nicht herumkam, wenn ich wegen des Rechenaufwandes nicht verzweifeln wollte - also schrieb ich zuerst dieses Programm !)

	Breiten	Längen	Abstände vom Soll-Ort
Startwerte	40,000000000	10,00000000	978,42 km
nach der 1. Näherung	49,194360032	7,953146786	57,963 km
nach der 2. Näherung	48,678698863	7,936430913	0,7307 km
nach der 3. Näherung	48,673321913	7,942264330	0,0123 km
nach der 4. Näherung	48,673320838	7,942263688	0,0122 km

Die Werte blieben bei der 5. Näherung konstant. Der Abstand zum Soll-Ort betrug jetzt nur noch 12 m !

Es ist mir natürlich klar, dass bei realen Messungen von Sternhöhen deutlich schlechtere Ergebnisse zu erwarten sind, denn nur wer nicht misst, macht keine Messfehler. Es wird auch noch ein gewisser Aufwand zu treiben sein, um bei der Messung der Sternhöhen die Beobachtungszeit mindestens auf die Sekunde genau festzuhalten. Dass auch diese genaue Zeit wichtig ist, macht man sich am besten dadurch klar, dass man ausrechnet, um wie viele Meter sich die Erde in unseren Breiten in einer Sekunde nach Osten dreht : Ich habe dafür rund 300 m ausgerechnet. Der Umfang der Erde auf unserem Breitenkreis ist ja 40000 km · cos (49°) = 26242 km. Wenn diese Strecke wegen der Erddrehung in 24 Stunden einmal durchlaufen wird, so beträgt die Strecke in einer Sekunde : 26242 km / 86400 = 0,304 km, also ca. 300 m. Wir bewegen uns also, auch wenn wir in Ruhe sind, mit annähernd Schallgeschwindigkeit nach Osten. Dass sich das aber bei der Schallausbreitung nicht bemerkbar macht, liegt daran, dass sich eben die Lufthülle mitbewegt.

Der augenblickliche Stand meines Navigationsprogramms ist schnell beschrieben : Es werden die Daten (Rektaszension, Deklination, Eigenbewegung in Rektasz. und Deklination) für ca. 60 wichtige Navigationssterne bereitgehalten und daraus die Rektaszension für das aktuelle Datum berechnet. Die Sterne werden dazu auf dem Bildschirm zur Auswahl angeboten. Das Beobachtungsdatum, die Greenwich-Zeit der Messung und die beobachteten Sternhöhen über dem Horizont werden für 2 Sterne eingegeben und das Programm berechnet daraus den Standort.

Die nächsten Arbeiten sollen nun den Planeten, der Sonne und dem Mond gelten. Bis dahin werde ich aber noch einiges lernen müssen, denn die Berechnung der Daten für die Körper unseres Sonnensystems ist mir noch ein Buch mit 7 Siegeln. Wahrscheinlich werde ich hier notgedrungen auf das Buch von Montenbruck und Pfleger : "Astronomie mit dem Personal Computer" angewiesen sein, aber vielleicht muss ich ja auch nicht unbedingt das Rad neu erfinden !